Puede interpretarse
el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la
sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es
esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si
describe un movimiento
rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por
. De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de
cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del
concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física,
Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del
área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal
respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en
un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts)
que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q
cambia en una cantidad
de un tiempo t a un
tiempo
. Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con
respecto a t es:
Es decir, con
frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual
a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà y en
términos de x por una fórmula
podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.
DERIVADA LOGARITMICA
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.
Como 
, también se puede expresar así:
, también se puede expresar así:
EJEMPLO
Como
, también se puede expresar así:
Sabemos que e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.
|
Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es igual a lacoordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el punto (0,1) la pendiente es 1.
Reglas para la derivación de funciones exponenciales:
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FUNCIONES SUCESIVAS
Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una
función en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un límite.
Si una
función f es derivable en un
subconjunto
de su dominio D (
), podemos definir una nueva función que asocie a cada
elemento de
su derivada en ese
punto:
Esta
nueva función que asigna a cada elemento
su derivada correspondiente recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA o, simplemente, DERIVADA y se representa
por f¨(x)
Ya hemos visto que
la derivada de una función en un punto, si existe, es el valor de la pendiente
de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Si esto se
generaliza a todos los puntos, hemos visto que obtenemos la función derivada f´(x).
Si a esta función (derivada primera) la
volvemos a derivar, se obtiene otra función derivada, llamada derivada segunda (
).
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