aprenderemos calculo

martes, 5 de junio de 2012

DERIVADAS

LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

Puede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por . De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad de un tiempo t a un tiempo . Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:

y la razón instantánea:

Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà y en términos de x por una fórmula podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.

DERIVADA LOGARITMICA

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como

, también se puede expresar así:

EJEMPLO

Como

, también se puede expresar así:

DERIVASION EXPONENCIAL

Sabemos que e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

La función f(x) = e^xes una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = e^x está entre f(x) = 2^x y f(x) = 3^x, como se ilustra a la izquierda.

Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e^x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = e^x en cualquier punto (x,e^x) es igual a lacoordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = e^x en el punto (0,1) la pendiente es 1.

Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

FUNCIONES SUCESIVAS

Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un límite.

Si una función f es derivable en un subconjunto de su dominio D ( ), podemos definir una nueva función que asocie a cada elemento de su derivada en ese punto:

Esta nueva función que asigna a cada elemento su derivada correspondiente recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA o, simplemente, DERIVADA y se representa por f¨(x)

Ya hemos visto que la derivada de una función en un punto, si existe, es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Si esto se generaliza a todos los puntos, hemos visto que obtenemos la función derivada f´(x).

Si a esta función (derivada primera) la volvemos a derivar, se obtiene otra función derivada, llamada derivada segunda ( ).

A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también su derivada que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por

LIMITES

tema3: limite

LIMITES DE FUNCIONES.

LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:

Sea f una función real de variable real . Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x₀ es L y escribiremos

si a medida que x se aproxima a x₀ (por valores menores y mayores que x₀) las imágenes de x , las f(x), se aproximan a L.

Esto nos llevaría a definir los límites laterales:

· Límite por la derecha cuando x se aproxima a x₀ por valores mayores:

· Y límite por la izquierda cuando x se aproxima a x₀ por valores menores:

Esta función no está definida en el punto 2. Cuando nos aproximamos a este punto por la izquierda, la función se aproxima a 1. Decimos por tanto que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 1, y lo expresamos:

Del mismo modo al aproximarnos a 2 por la derecha (tomando valores mayores que 2) la función se aproxima a 0. Por tanto "el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 0", lo expres

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Continuidad de una función

Una función es continua en un punto cuando cumple las siguientes condiciones:

Ø Tiene que existir el límite de la función en ese punto

Ø Tiene que estar definida la función en ese punto

Ø El valor de la función y el del límite, en dicho punto, deben ser iguales.

Una función es continua en un intervalo (a;b), cuando lo es en todos los puntos de dicho intervalo.

Es decir la función f(x) es continua en el punto x₀, si cumple:

a) $ lim f(x) y lim f(x) Î Â (No debe ser ¥ )

x ®x₀x ®x₀

b) $ f(x₀)

c) lim f(x) =f(x₀)

x ®x₀

Cuando una función no cumple una de estas tres condiciones (cualquiera de ellas), la función es discontinua en el punto que no cumple la condición.

lunes, 4 de junio de 2012

FUNCIONES

tema2:funciones

Dominio

Conjunto de todos los valores que toma la variable independiente, la x. Leemos de izquierda aderecha en el eje x y vemos para que valores hay función.

funciones
Una función es una relación entre dos magnitudes siempre que a cada valor de

la variable independiente le corresponde un único valor de la variable

dependiente

La variable independiente se suele representar por x, y la letra y representa

el valor de la variable dependiente. La relación o función que existe entre

ambas se suele representar por la letra f, de la siguiente forma f(x)=y

precalculo

tema1: precalculo

sistema de cordenadas lineales y rectangulares

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de unespacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.
En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Unsistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.

DESIGUALDADES E INTERVALOS INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales.

En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado,

si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Siuno de extremos pertenece al conjunto y el otro no, se dice quesemiabierto o semicerrado.